• Средняя линия. Параллелограмм
• Квадраты
• Вокруг биссектрисы
• Теорема Штейнера-Лемуса
• Вписанная и внеписанные окружности
• Площадь
• Прямая Эйлера и окружность девяти точек
• Симедиана
• Конструкции
• Построения
• Алгебра и геометрия

• Точка Микеля, прямая Симсона, прямая Штейнера, теорема Дроз-Фарни
• Теорема Фейербаха и точка Фейербаха
• Гомотетия
• Полувписанная окружность, окружности
• Замечательные окружности
• Нам пишут

• Комбинаторная геометрия
• Геометрические неравенства
• Теорема Кэзи
• Замечательные кривые
• Теорема Понселе
• Трисекция. Теорема Морлея
• Изогональное сопряжение
• Стереометрия
• Задача о бабочке
• Как? и Зачем?

Г. Б. Филипповский. Параллелограмм Вариньона решает задачи

Г. Б. Филипповский. О двух параллелограммах в треугольнике. (pdf) "Квант", №4, 2008 г.

И. Ф. Шарыгин. Вокруг биссектрисы "Квант", №8, 1983 г.
"В этой статье собраны некоторые геометрические факты, прямо или косвенно связанные с биссектрисой треугольника."

Г. Б. Филипповский. К вопросу о событиях на одной прямой l

Г. Б. Филипповский. Точка Q – основание внешней биссектрисы

А.Д. Блинков, Ю.А. Блинков. Вневписанная окружность. (pdf) "Квант", №2, 2009 г.
В статье излагаются классические факты о вневписанной окружности, обсуждаются задачи, в которых вневписанная окружность возникает самым неожиданным образом.

Г. Б. Филипповский. Замечательная прямая треугольника. (pdf) "Квант", №4, 2007 г.
К статье рекомендуем подборку задач о вписанной окружности.

Ю. Билецкий, Г. Филипповский. О пользе вневписанных окружностей. (pdf)

А. Д. Блинков, Ю. А. Блинков. Две окружности в треугольнике, три окружности в треугольнике... (pdf) "Квант", №2, 2012 г.

А.А. Заславский, М. Панов О вписанной окружности прямоугольного треугольника (pdf) "Квант", №4, 2017 г.

П. А. Кожевников. Вневписанные окружности и дюжины точек.
21-я летняя конференция международного математического Турнира городов.

Фольклор Задача Ф. Ивлева. (pdf)
В заметке решение трудной и красивой задачи разбито на несколько подзадач, что позволяет использовать материал на кружке. Решения многих задач и различные обобщения можно найти в статье.

Huseyin Demir and Cem Tezer More on Incircles (pdf) Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 2 (Apr., 1989), pp. 107-114

И. Ф. Шарыгин, А. Ягубьянц. Окружность девяти точек и прямая Эйлера "Квант" №8, 1981 г.
К этой статье рекомендуем такую серию задач.

И. А. Кушнир. Золотой ключ Леонарда Эйлера (pdf) "Математика в школах Украины", №13-15, 2012 г.
Рассказывается о приложениях окружности девяти точек для доказательства классических задач.

Д. В. Швецов. Важная лемма (pdf) "Квант" №5-6, 2012 г.

Л. А. Емельянов. Точка Шиффлера (pdf) "Математика в школе" №6, 2006 г.
Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Тогда прямые Эйлера треугольников $AIC$, $AIB$, $BIC$, $ABC$ пересекаются в одной точке!

Nguyen Minh Ha. A proof of Vittas’ Theorem and its converse (pdf)
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $P$. Тогда прямые Эйлера треугольника $APB$, $BPC$, $CPD$, $DPA$ пересекаются в одной точке.

Debdyuti Banerjee and Sayan Mukherjee. Neuberg Locus And Its Properties (pdf) Journal of Classical Geometry, Volume 2, 2013
Отметим все такие точки $P$, что прямые Эйлера треугольников $APB$, $BPC$, $CPA$ пересекаются в одной точке. Оказывается, что это ГМТ обладает многими интересными своствами.

В. Ю. Протасов. Касающиеся окружноти: от Тебо до Фейербаха. (pdf) "Квант", №4, 2008 г.
В статье обсуждаются сразу две жемчужины: теорема Тебо и теорема Фейербаха. Оказывается, что одна из теорем является следствием другой!

П.А. Кожевников. Ещё раз о точке Фейербаха. (pdf) Математическое просвещение, Выпуск 15, 2012 г.
"В этой заметке предлагается геометрическое доказательство теоремы Фейербаха, которое дает возможность описать точку Фейербаха и, в частности, получить отличное от авторского геометрическое решение задачи 8 из задачного раздела «Математического просвещения», вып. 14, 2010 г."

J.L. Ayme. Красивое доказательство теоремы Фейербаха. (pdf)
Очень красивое доказательство теоремы Фейербаха. Оригинал статьи можно посмотреть на странице автора.

Фольклор. Доказательство теоремы Фейербаха по И. Ф. Шарыгину. (pdf)

Nguyen Minh Ha and Nguyen Pham Dat. Synthetic Proofs of Two Theorems Related to the Feuerbach Point.(pdf) Forum Geometricorum Volume 12 (2012) 39–46.
В статье излагаются геометрические доказательства двух замечательных теорем, связанных с точкой Фейербаха. Кроме цитированной статьи J. Vonk, рекомендуем заглянуть в статью Куланина Е. Д., в которой теорема Емельянова доказывается с помощью коник.

Jan Vonk. The Feuerbach point and reflections of the Euler line. (pdf) Forum Geometricorum, 9 (2009) 47--55.
Рассматриваются интересные свойства точки Фейербаха.

Куланин Е.Д., Шихова Н.А. Прямые Эйлера и точки Фейербаха.(pdf)
Математическое образование, №2, 2012.

Кожевников П. А.(по статье Д. Гринберга) Обобщение теоремы Фейербаха. (pdf)

Куланин Е. Д. Об описанных окружностях чевианных и педальных треугольников и некоторых кривых, связанных с треугольником. (pdf)
Ежегодник «Математическое просвещение», №9, М., 2005.
Доказательство теоремы Фейербаха через коники! В статье указывается целое семейство окружностей, проходящих через точку Фейербаха(например, окружность, проходящая через основания биссектрис, проходит через точку Фейербаха). Для понимания статьи необходим некоторый опыт работы с кониками, который можно получить, почитав замечательную книгу А. Акопяна, А. Заславского (pdf).

В.Ю. Протасов. О двух велосипедистах и вишнёвой косточке (pdf) "Квант", №3, 2008 г. "Попробуем подвести некоторые итоги. Две задачи международных олимпиад, задача о бабочке, два десятка геометрических задач, которые мы сформулировали в виде упражнений (некоторые из них появлялись на математических олимпиадах, в Задачнике <Кванта>, и в различных сборниках задач). Список далеко не полный. И все это выросло из задачи 1, совсем простенькой и неинтересной, которую мы вначале и решать-то не хотели."

Г. Б. Филипповский. О точке на стороне и двух параллельных (pdf) "Математика в школах Украины", №4, 2011 г.

А. Полянский. Воробьями по пушкам (pdf) "Квант", №2, 2012 г. Решения упражнений
"В этой статье мы пользуясь двумя простыми и элегантными фактами, решим две достаточно сложные задачи."

Ю. А. Блинков Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и ещё одна точка ! (pdf) "Квант", №2, 2014 г.

А. Карлюченко, Г. Филипповский. Задачи с тремя равными окружностями (pdf) "Математика в школах Украины", № 22-23, август 2014 г.

Г. Б. Филипповский. "Угловые" приключения барона Мюнхгаузена (pdf)

А. Карлюченко, Г.Б. Филипповский. Про вiдстанi вiд вершини трикутника до його чудових точок (pdf). "У світі математики", том 22, випуск 4, 2016 г.

Ф. Нилов. New Examples of Hexagonal Webs of Circles (pdf)

А. В. Спивак. Десять бабочек (pdf)

Е. С. Горская. Шесть доказательств теоремы о бабочке (pdf) Сборник "Учим математике-2". МЦНМО, 2009 г.

Б. Гейдман. Гомотетия и замечательные точки в треугольнике "Квант", №10, 1977 г.

А. Спиров. Неожиданная поворотная гомотетия (pdf) "Квант", №5, 1998 г.

П. А. Кожевников. Задача M2100 (pdf)

Рекомендуем такие интересные серии задач на гомотетию:

Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и … еще одна точка! (pdf)

Прямая Нагеля (pdf)

Лемма о вписанной окружности

Поворотная гомотетия

А. Гирич. Несколько задач о треугольниках и окружностях "Квант", №11, 1990 г.

В. Ю. Протасов. Касающиеся окружноти: от Тебо до Фейербаха. (pdf) "Квант", №4, 2008 г.

Рекомендуем серию задач про полувписанную окружность:
полувписанная окружность

А. Львов. О центрах гомотетий вписанных окружностей и окружностей Тебо pdf

Wilfred Reyes. An Application of Thebault’s Theorem (pdf) Forum Geometricorum Volume 2 (2002) 183–185.

Dmitry S. Babichev. Circles touching sides and the circumcircle for inscribed quadrilaterals (pdf) Journal of Classical Geometry, Volume 1, 2012

Г. Б. Филипповский. "Досье" на окружность Аполлония

Очень советуем порешать замечательную подборку задач Д. В. Прокопенко.

А. Г. Мякишев. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора(pdf)

Jan Vonk and J. Chris Fisher. On a new circle associated with a triangle (pdf) Forum Geometricorum Volume 11 (2011) 13–26.
В статье, посвящённой окружности Фурмана, очень много красивых геометрических доказательств.

Л. Штейнгарц Снова о теореме Морлея "Квант" №5, 2009 год.

Л. Емельянов, Т. Емельянова Теорема Морлея. Сто лет спустя "Математика в школе", 2004 год.

Г. Б. Филипповский Трисекция угла в задачах школьной геометрии

Тоноян Г., Яглом И. Теорема Морлея "Квант" №8, 1978 год.

Е. Д. Куланин Еще раз о трисекции угла (pdf) "Математика в школах Украины", №4, 2012 г.

Для первого знакомства с темой рекомендуем книжку В. В. Прасолова и статью Д. Гринберга(ниже).

Д. Гринберг. Isogonal conjugation with respect to a triangle (zip)

А. В. Акопян, А. А. Заславский. Разные взгляды на изогональное сопряжение (pdf) Математическое просвещение, сер. 3, вып. 11, 2007.

Д. В. Прокопенко Изогональное сопряжение и педальные треугольники pdf "Квант" №9, 2017 год.

А. Куликова, Д.В. Прокопенко Теорема об изогоналях pdf , "Квант", №4-5, 2018 год
" В статье приведено доказательство теоремы и продемонстрирована эффективность применения этой теоремы в олимпиадных задачах высокого уровня"

А. Уткин Изогональное сопряжение в четырехугольнике pdf, "Квант", №2, 2019 "В этой статье мы расскажем об изогональном сопряжении в четырехугольнике и покажем, что оно может оказаться полезным при решении задач"

Dimitar Belev. Some Properties of the Brocard Points of a Cyclic Quadrilateral (pdf), Journal of Classical Geometry, volume 2, 2013

A. В. Акопян. Conjugation of lines with respect to a triangle (pdf), Journal of Classical Geometry, volume 1, 2012
В статье речь идёт об обобщениях изогонального и изотомического сопряжениях. Для понимания статьи нужны знани проективных преобразований и коник. Всё необходимое можно найти в книжке про коники.

Написать нам

Софт

Базы задач

 Популярные вопросы