На математических соревнованиях порою предлагают доказать, что какие-то три прямые, связанные с треугольником, пересекаются в одной точке(примеры). Если подобного рода задачи вызывают затруднения, то следующая "лемма" к Вашим услугам.

Все треугольники равносторонние.

Докажем, например, что в произвольном треугольнике любые две стороны равны.
Пусть в треугольнике $ABC$ серединный перпендикуляр к стороне $AC$ и биссектриса угла $B$ пересекаются в точке $P$(см. рисунок).
Пусть $M$ – середина стороны $AC$; $K$ и $L$ – основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на стороны $AB$ и $AC$. Заметим, что $\triangle KBP=\triangle LBP$, т.к. точка $P$ лежит на биссектрисе $\angle ABC$, поэтому $BK=BL$ С другой стороны, точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$, поэтому $AP=CP$. Получаем, что и $\triangle APK=\triangle CPL$(по катету и гипотенузе). Следовательно, $AK=CL$.
Таким образом, $AB=AK+BK=CL+BL=CB$. Аналогично, можно показать, что и $AC=BC$, т.е. мы доказали "лемму" для любого треугольника!

Разгадку этого парадокса и другие геометрические софизмы Вы найдёте в замечательной книжке Я. С. Дубнова "Ошибки в геометрических доказательствах" (ссылка).


МЦНМО