Семинар по геометрии имени И.Ф. Шарыгина. 23 октября 2008 года

Тема: «О связи комбинаторного строения и изгибаемости многогранников»

Докладчик: Игорь Гаврилович Максимов (мехмат МГУ)

Аннотация:
Гипотеза о том, что замкнутая многогранная поверхность в трехмерном пространстве не может изгибаться, если запрещены разрывы, а грани движутся как абсолютно твердые тела, возникла давно. Эта гипотеза была подтверждена теоремой Коши (1813г.) о неизгибаемости выпуклых многогранников.

Прошло более 80 лет, прежде чем Брикар показал существование изгибаемых многогранников, перечислив изгибаемые октаэдры. Но эти многогранники имеют самопересечения и их нельзя физически реализовать в виде движущихся моделей. Снова прошло около 80 лет и Р. Коннелли построил примеры изгибаемых многогранников — сначала погруженных, а затем и вложенных. Наконец, на совсем другой идее К. Штефен, построил пример изгибаемого вложенного многогранника всего с 9 вершинами. Эти примеры являются уникальными, так как сейчас известно, что почти все многогранники неизгибаемы (Глюк, И.Х. Сабитов).

Открытие существования изгибаемых многогранников сразу же породило новые вопросы, такие как: какое минимальное число вершин может иметь вложенный или погруженный изгибаемый многогранник, какое число параметров определяет данный многогранник однозначно при любых значениях длин его ребер и при любой его конфигурации в пространстве, изменяется ли объем многогранника при изгибании.

Часть из этих задач не решена до сих пор, ответ на последний вопрос был получен И.Х. Сабитовым, доказавшем постоянство объема. В докладе даются частичные или полные ответы на эти вопросы, а также изучаются многогранники, возможные изгибания которых описываются не более чем одним параметром.

Приглашаются постоянные участники семинара и все желающие!