На главную
заочный тур:
условия в формате HTML или в формате PDF (68КБ) или в формате PS (95КБ),
решения в формате PDF (220КБ),
список приглашенных на финальный тур

финальный тур:
условия,
протокол финального тура

В память о выдающемся деятеле российского математического образования, всемирно известном знатоке и патриоте элементарной геометрии Игоре Федоровиче Шарыгине (1937–2004) Математический институт им В.А. Стеклова РАН, Департамент образования города Москвы, Московский центр непрерывного математического образования, Московский институт открытого образования, Открытый лицей ВЗМШ, при поддержке компьютермаркета «НИКС» и АНО «Школа нового поколения», ежегодно проводят геометрическую олимпиаду. В оргкомитет и жюри олимпиады входят известные ученые, педагоги, энтузиасты математического просвещения из разных российских регионов.

С 2006 года олимпиада проходит при информационной поддержке газеты «Математика».


Финальный тур второй Всероссийской олимпиады по геометрии имени Игоря Федоровича Шарыгина прошел с 30 июля по 1 августа 2006 года в Дубне. В нем приняли участие 36 школьников.


Условия задач финального тура

8 класс

8.1. Впишите в данный полукруг правильный треугольник наибольшего периметра.

8.2. При каком наименьшем n существует n-угольник, который можно разрезать на треугольник, четырехугольник, ..., 2006-угольник?

8.3. Дан параллелограмм ABCD. Две окружности с центрами в вершинах A и C проходят через D. Прямая l проходит через D и вторично пересекает окружности в точках X, Y. Докажите, что BX=BY.

8.4. Две равные окружности пересекаются в точках A и B. P — отличная от A и B точка одной из окружностей, X и Y — вторые точки пересечения прямых PA и PB с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через P и перпендикулярная AB, делит одну из дуг XY пополам.

8.5. Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ — какой-нибудь стороне?

8.6. Дан треугольник ABC и точка P внутри него. A', B', C' — проекции P на прямые BC, CA, AB. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника A'B'C', лежит внутри треугольника ABC.


9 класс

9.1. Дана окружность радиуса R. Две другие окружности, сумма радиусов которых также равна R, касаются ее изнутри. Докажите, что прямая, соединяющая точки касания, проходит через одну из общих точек этих окружностей.

9.2. Дана окружность, точка A на ней и точка M внутри нее. Рассматриваются хорды BC, проходящие через M. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников ABC, касаются некоторой фиксированной окружности.

9.3. Треугольники ABC и A1B1C1 подобны и по-разному ориентированы. На отрезке AA1 взята точка A', такая что AA'/A1A' = BC/B1C1. Аналогично строятся точки B' и C'. Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой.

9.4. В невыпуклом шестиугольнике каждый угол равен либо 90o, либо 270o. Верно ли, что при некоторых длинах сторон его можно разрезать на два подобных ему и неравных между собой шестиугольника?

9.5. Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника ABC, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.

9.6. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. A', B', C', D' — ортоцентры треугольников BCD, CDA, DAB, ABC. Докажите, что в четырехугольниках ABCD и A'B'C'D' соответствующие диагонали делятся точками пересечения в одном и том же отношении.


10 класс

10.1. Пять прямых проходят через одну точку. Докажите, что существует замкнутая пятизвенная ломаная, вершины и середины звеньев которой лежат на этих прямых, причем на каждой прямой лежит ровно по одной вершине.

10.2. Проекции точки X на стороны четырехугольника ABCD лежат на одной окружности. Y — точка, симметричная X относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки B на прямые AX, XC, CY, YA также лежат на одной окружности.

10.3. Дана окружность и точка P внутри нее, отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной изнутри и друг друга в точке P. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внешних касательных к этим окружностям.

10.4. Прямые, содержащие медианы треугольника ABC, вторично пересекают его описанную окружность в точках A1, B1, C1. Прямые, проходящие через A, B, C и параллельные противоположным сторонам, пересекают ее же в точках A2, B2, C2. Докажите, что прямые A1A2, B1B2, C1C2 пересекаются в одной точке.

10.5. Может ли развертка тетраэдра оказаться треугольником со сторонами 3, 4 и 5 (тетраэдр можно резать только по ребрам)?

10.6. На доске был нарисован четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.


Протокол финального тура

N

Фамилия

Имя

Город

Школа

Класс

1

2

3

4

5

6

Задач

Попы-
ток

Диплом

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

  8 класс                                          
1 Нижибицкий Евгений Краснодар 73 8 1     1     1     1           0     4 5 1
2 Царьков Олег Москва Л2Ш 8 1     1     1     1           0     4 5 1
3 Кузьмина Наталия Череповец
Вологодской обл
34 8 0 1         1     1                 3 4 3
4 Максимова Марина Краснодар 42 7 1                             0 0   1 3 ПГ
  4 2 3 3 0 0  
 
  9 класс                                          
1 Слоян Тигран Ереван Армения   9 1     1     1           1           4 4 1
2 Чекалкин Серафим Москва 1543 9 1     1     1           0 1         4 5 1
3 Котельский Артем Москва 57 9 1     1     1                       3 3 2
4 Пинчук Денис Долгопрудный 5 9 1     1     1           0           3 4 2
5 Пуртов Дмитрий Москва 1543 9 1     1     1     0 0               3 5 2
6 Войнов Андрей Москва Л2Ш 9 1     1     0 1   0 0               3 6 2
7 Окунев Алексей Москва 57 9 1     1     0 1   0     0 0         3 7 2
8 Марченко Евгений Москва 1543 9 1           1                       2 2 3
9 Ромаскевич Елена Москва 1543 9 1                 1                 2 2 3
10 Савин Арсений Москва 57 9 1     1                             2 2 3
11 Акопян Тигран Ереван Армения ФМШ им Шагиняна 9 0 1                     1           2 3 3
12 Семенцов-Огиевский Владимир Долгопрудный 5 9 1                                   1 1 ПГ
13 Хатунцев Денис Москва 1543 9 1                 0                 1 2 ПГ
  13 8 8 1 3 0  
 
  10 класс                                          
1 Есин Алексей ст. Старониже-
стеблиевская
Краснодарского края
55 10 1           1     1     1           4 4 1
2 Илюхина Мария Москва Л2Ш 10 1           1     1     1           4 4 1
3 Матвеев Константин Омск 66 10 1           1     1     0 1         4 5 1
4 Фельдман Григорий Новосибирск гимн 1 10 1     1     1                       3 3 2
5 Сидоров Александр Санкт-Петербург лицей ФТШ 10 1           1           0 1         3 4 2
6 Осипов Илья Москва 57 10 1           1           0 0 1       3 5 2
7 Сафин Станислав Краснодар ИСТЭК 10 1     0 1   0 1   0     0           3 7 2
8 Арутюнов Владимир Москва 1543 10 1                       1           2 2 3
9 Лысов Михаил Москва Л2Ш 10 1                       1           2 2 3
10 Николаенко Станислав Украина 64 10 1     1                 0           2 3 3
11 Осечкина Мария Пермь 9 10 1                 1     0           2 3 3
12 Руденко Наталья Киров фмл 10 1           1           0 0         2 4 3
13 Чмутин Георгий Москва 57 10 0 1                     0 1         2 4 3
14 Махлин Игорь Москва 1543 10 1     0 1               0 0         2 5 3
15 Киямов Рустам Казань 7 10 1                                   1 1 ПГ
16 Микушкин Марат Ульяновск 79 10 1                                   1 1 ПГ
17 Юрова Екатерина Москва 1543 10 1                       0           1 2 ПГ
18 Бабичев Дмитрий Долгопрудный 5 9 0 0                     0 1         1 4 ПГ
19 Курносов Никон Москва 1534 10 0           0 1         0 0         1 5 ПГ
олимпиады кружки базы задач книги и журналы семинар
персоналии софт форум ссылки
©МЦНМО, 2008