\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts, amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{epigraph}
\pagestyle{empty}

\addtolength{\topmargin}{-3.0 cm} \addtolength{\oddsidemargin}{-2.2
cm} \addtolength{\textwidth}{3.8 cm} \textheight=28.2cm

\newcounter{iii}
\newcommand{\ii}{\par \medskip \noindent \refstepcounter{iii} \textbf{\arabic{iii}.} }

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\les}{\leqslant}
\newcommand{\ges}{\geqslant}
\newcommand{\ex}{\exists\,}
\newcommand{\al}{\forall\,}
\newcommand{\nhrule}{\medskip\hrule\medskip}
\newcommand\notdvds{\mathrel{\not{\kern-.049em\big|}}}
\def\kratno{\smash{\lower.3ex\hbox{$\:\vdots\;$}}}


\newcommand{\tit}{Воробьями по пушкам и окрестности.}
\newcommand{\who}{А. Полянский}
\newcommand{\dat}{}
\newcommand{\len}{0}

\newcommand{\pr}{

\bigskip

$$
\begin{array}{lcr}
\text{\large \who}&\hspace{\len cm}\text{\LARGE \tit}\hspace{\len cm}&\dat\\
\end{array}
$$
\hrule
\bigskip
\epigraph{ Во всем мире нет ничего более мягкого и податливого, чем
вода, но она точит твердое и крепкое. Никто не может ее одолеть,
хотя любой может ее потеснить. Податливое побеждает крепкое, мягкое
одолевает твердое,--- все это знают, но никто не осмеливается
действовать так. }{Лао Цзы ``Дао дэ цзин''. \\Из главы 78.}

Речь пойдёт о трёх простых и элегантных фактах из элементарной геометрии.
Эти факты получили свое прозвище ``воробьи'' из сложившейся ситуации, которая прямо противоположно тому, о чем говорит пословица ``пушками по воробьям'': с помощью простых трюков удается решить сложные задачи. Отсюда и название этого сюжета ``Воробьями по
пушкам''.

\ii На сторонах $AB$ и
$BC$ неравнобедренного треугольника $ABC$ выбраны точки $C_0$ и $A_0$ соответственно, точка $B_1$ --- середина
дуги $ABC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что
равенство $AC_0=CA_0$ выполняется тогда и только тогда, когда точки
$A_0,C_0,B_1,B$ лежат на одной окружности. (это первый воробей).

\ii На сторонах $AB$ и
$BC$ неравнобедренного треугольника $ABC$ выбраны точки $C_0$ и $A_0$ соответственно, точка
$I$ --- центр вписанной
окружности в $ABC$. Докажите, что окружность, описанная около
треугольника $ A_0BC_0$, проходит через $I$ тогда и только тогда,
когда $AC_0+CA_0=AC$. (это второй воробей)

{\bf Замечание к задача 1 и 2.} Следует отметить, что если точки
$C_0$ и $A_0$ ``выбегут'' за стороны $AB$ и $CB$, то факты 1 и 2
остаются также справедливыми. Следует только оговорить, что если
$C_0$ не будет находиться на луче $AB$ и (или) $A_0$ не будет
находиться на луче $CB$, то длины отрезков $AC_0$ и (или) $CA_0$
будем считать отрицательными.

{\bf Замечание к задаче 2.} Эту задачу полезно понимать так:

На прямых $AB$ и $BC$ выбраны точки $C_0$ и $A_0$ соответственно.
Обозначим через $J$ точку являющуюся серединой дуги $AC$ (без точки
$B$) окружности описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что
окружность, описанная около треугольника $A_0BC_0$, проходит через
точку $J$ тогда и только тогда, когда $BA_0+BC_0=BA+BC$. \\При этом
длину $BC_0$ будем считать отрицательной, если точка $C_0$ не лежит 
на луче $AB$, и аналогично можно сказать про длину
отрезка $BA_0$.

\ii Точки $X$ и $Y$ движутся с постоянными скоростями (не
обязательно равными) по двум фиксированным прямым пересекающимся в
точке $O$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника
$XYO$, проходит через 2 фиксированные точки $O$ и $Z$, где $Z$
является центром поворотной гомотетии, переводящий местоположения
точек $X$ в местоположения точек $Y$. (это третий воробей)

{\bf Замечание.} Осмыслите первые две задачи с помощью этой.

\ii Дан неравнобедренный треугольник $ABC$ ($AB<BC$). Точка $B_1$ ---
середина дуги $ABC$ описанной окружности треугольника $ABC$, точка $M$
--- середина стороны $AC$. Докажите, что центры $I_A$ и $I_C$
вписанных окружностей в треугольники $AMB$ и $CMB$, точки $B$ и
$B_1$ лежат на одной окружности.

\ii Дан неравнобедренный треугольник $ABC$ ($AB<BC$). Точка $B_1$ ---
середина дуги $ABC$ описанной окружности $w$ треугольника $ABC$, точка $I$
--- центр вписанной окружности в $ABC$, точка $M$ --- середина стороны
$AC$. Докажите, что $\angle IB_1B=\angle IMA$.

\ii Пусть на дуге $BC$ (не содержащей точки $A$) описанной
окружности $w$ треугольника $ABC$ выбрана точка $E$, а на стороне
$AC$ --- точка $F$. Докажите, что через луч $EF$ --- биссектриса
угла $AEC$ тогда и только тогда, когда $\angle IEB=\angle IFA$, где
$I$ --- центр вписанной окружности треугольника $ABC$.

{\bf Замечание.} Эти удивительно важное свойство! Особенно запомните
ситуацию, когда $F$ совпадает с точкой касания вписанной окружности
в треугольник $ABC$ со стороной $BC$. Обязательно самостоятельно
нарисуйте.

\ii Докажите с помощью предыдущей задачи лемму Веррьера. Если
полувписанная окружность касается описанной окружности треугольника
$ABC$ внутренним образом в точке $B'$, а сторон $AB$ и $BC$ в точках
$C_0$ и $A_0$. Докажите, что середина отрезка $A_0C_0$ --- центр $I$
вписанной окружности треугольника $ABC$.

\ii Пользуясь условием из предыдущей задачи, докажите, что прямая
$B'I$ проходит через середину дуги $ABC$ описанной окружности.

\ii На дуге $AC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не
содержащей точку $B$, выбрана точка $E$. Докажите, что центры $I_a$
и $I_c$ вписанных окружностей в треугольники $AEB$ и $CEB$, точка
$E$ и точка $T_b$ касания полувписанной (соответствующей вершине
$B$) и описанной окружностей лежат на одной окружности.

\ii Трапеция $ABCD$ вписана в окружность $w$ $(AD||BC)$.
Окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ABD$, касаются оснований трапеции $BC$
и $AD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точки $X$ и $Y$ --— середины дуг $BC$ и $AD$
окружности $w$, не содержащих точек $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что прямые $XP$ и $YQ$
пересекаются на окружности $w$.

\ii Пусть $A_0, B_0$ и $C_0$ --- точки касания вневписанных
окружностей со сторонами $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$.
Описанные окружности треугольников $A_0B_0 C, AB_0C_0$ и $A_0BC_0$
пересекают второй раз описанную окружность $w$ треугольника $ABC$ в
точках $C_1, A_1$ и $B_1$ соответственно. Докажите, что треугольник
$A_1B_1C_1$ подобен треугольнику, образованному точками касания
вписанной окружности треугольника $ABC$ с его сторонами.

\ii (Усиление предыдущей задачи) Точки $A_1, B_1$ и $C_1$ выбраны на
сторонах $BC, CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Описанные
окружности треугольников $C_1AB_1$, $A_1BC_1$ и $B_1CA_1$ пересекают
описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $A_2,$ $B_2$ и $C_2$
соответственно (эти точки отличны от вершин треугольника $ABC$).
Точки $A_3, B_3$ и $C_3$ симметричны $A_1, B_1$ и $C_1$ относительно
соответствующих середин сторон. Докажите, что треугольники
$A_2B_2C_2$ и $A_3B_3C_3$ подобны.

 \ii Пусть на сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$
выбраны точки $C_0$ и $A_0$ соответственно, а точки $M$ и $M_0$ ---
середины отрезков $AC$ и $A_0 C_0$. Докажите, что если $AC_0=CA_0$,
то прямая $MM_0$ параллельна биссектрисе $\angle ABC$.

\ii (Теорема Микеля) Даны четыре прямые $l_1, l_2, l_3, l_4$ общего
положения. Обозначим через $w_1$ окружность описанную около
треугольника образованного $l_2, l_3, l_4$. Аналогично определяем
$w_2, w_3, w_4$. Докажите, что эти окружности проходят через одну
точку.

{\bf Замечание к теореме Микеля и третьему воробью.} Эти два факта
вместе говорят следующее:

"Тараканы" $X$, $Y$ движутся равномерно и непрерывно по прямым $l_x,
l_y$, пересекающимся в точке $O$. В первоначальный момент они
находились в точках $X_0, Y_0$, через некоторое время они оказались
в точках $X_1$, $Y_1$, а ещё спустя некоторое время в точках $X_2,
Y_2$. Тогда точка Микеля для прямых $l_x, l_y, X_0Y_0, X_1Y_1$ и для
прямых $l_x, l_y, X_0Y_0, X_2Y_2$ одна и та же!

Постарайтесь понять этот факт, порисуйте разные ситуации. Это один
из ключевых сюжетов данного листочка.

\ii  Дан такой четырехугольник $ABCD$, что $BC=AD$ и $BC$ не
параллельна $AD$. На сторонах $BC$ и $AD$ выбраны
такие точки $E$ и $F$, что $BE=DF$. Диагонали $AC$ и $BD$
пересекаются в точке $P$, прямые $BD$ и $EF$ --- в точке $Q$, прямые
$EF$ и $AC$ --- в точке $R$. Докажите, что окружности, описанные
около треугольников $PQR$ (при изменении положения точек $E$ и $F$),
проходят через одну точку, отличную от $P$.

\ii Пусть на стороне $AC$ выбрана точка $D$. Обозначим через $I_A$ и
$I_C$ --- центры вписанных окружностей в треугольники $ABD$ и $CBD$,
а через $B_0^\prime$ --- точку касания вписанной окружности со
стороной $AC$. Докажите, что угол $I_A B^\prime_0 I_C$ --- прямой.

\ii Дан треугольник $ABC$ и окружность с центром $O$ проходящая
через вершины $A$ и $C$ и повторно пересекающая отрезки $AB$ и $BC$
в различных точках $K$ и $N$ соответственно. Окружности, описанные
около треугольников $ABC$ и $KBN$, имеют ровно две общие точки $B$ и
$M$. Докажите, что угол $OMB$ --- прямой.

\ii В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса
острого угла между высотами $AA_1$ и $CC_1$ пересекает стороны $AB$
и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Биссектриса угла $B$
пересекает отрезок, соединяющий ортоцентр треугольника $ABC$ с
серединой $AC$, в точке $R$. Докажите, что точки $P,$ $B,$ $Q$ и $R$
лежат на одной окружности.

\ii Точки $E$ и $F$ --- середины большой дуги $A$ и малой дуги $AC$
описанной около остроугольного неравнобедренного
 треугольника $ABC$
($AB<BC$). Пусть $G$ --- проекция $E$ на $BC$. Докажите, что
описанная окружность около треугольника $ABG$ проходит через
середину отрезка $BF$. 

\ii Точки $A_1,$ $B_1$ и $C_1$ выбраны на сторонах
$BC,$ $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ следующим образом: $AB_1-AC_1 =
CA_1-CB_1 = BC_1-BA_1$. Пусть $I_A, I_B$ и $I_C$ – центры
окружностей, вписанных в треугольники $AB_1C_1,$ $A_1BC_1$ и
$A_1B_1C$. Докажите, что центр описанной окружности около
треугольника $I_AI_BI_C$, совпадает с центром вписанной окружности
треугольника $ABC$.

\ii  Точки $A_1,$ $B_1$ и $C_1$ выбраны на сторонах $BC,$ $CA$ и $AB$
треугольника $ABC$ следующим образом: $AB_1-AC_1 = CA_1-CB_1
=BC_1-BA_1$. Пусть $O_A,$ $O_B$ и $O_C$ – центры окружностей,
описанных около треугольников $AB_1C_1,$ $A_1BC_1$ и $A_1B_1C$.
Докажите, что центр вписанной окружности около треугольника
$O_AO_BO_C$, совпадает с центром вписанной окружности треугольника
$ABC$.

\ii На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $C_1$ и
$A_1$. Пусть $K$ --– середина $A_1C_1$, а $I$ –- центр вписанной
окружности в треугольник $ABC$. Оказалось, что четырехугольник
$A_1BC_1I$ вписанный. Докажите, что угол $AKC$ тупой.

\ii Точки $O$ и $I$ являются центрами описанной и вписанной окружностей в треугольнике $ABC$ соответственно. На сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ выбраны такие точки $D$, $E$ и $F$, что $BD+BF=CA$ и $CD+CE=AB$. Окружности описанные около треугольников $BFD$ и $CDE$ пересекаются в точках $P$ и $D$. Докажите, что $OP=OI$.

\ii Пусть $A_0, B_0$ и $C_0$ --- точки касания вневписанных
окружностей со сторонами $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$. Докажите, что центр описанной окружности около треугольника $A_0B_0C_0$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$ тогда и только тогда, когда треугольник $ABC$ прямоугольный.

{\bf Литература.}

\emph{1.} A.\,Акопян. Геометрия в картинках, Москва, 2012. }
\begin{document}
\pr
\end{document}
