\documentclass[12pt,nopagetitle]{article}
\usepackage{amssymb,amsmath, amsthm}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\oddsidemargin=0mm \topmargin=0mm \headheight=0mm \headsep=0mm
\textwidth=160mm \textheight=246mm
\newcommand{\ov}{\overline}
\newtheorem{fact}{Факт}
\newtheorem{zam}{Замечание}
\newtheorem{pr}{Задача}
\newtheorem{lem}{Лемма}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{center}
{\large \bf Узлы.} (А. Полянский)
\end{center}
При решении задач этого листика желательно \emph{не использовать} формулу Пика (только от безысходности).
Ключевая идея при решении подобных задач состоит в принципе крайнего (т.\,е. нужно рассмотреть наиближайший узел к прямой,
самое короткое расстояние, многоугольник минимальной площади, наименьшего периметра и т.\,п.). Также можно применять 3 нижеприведенных правила (желательно уметь их доказывать!).

 {\bf Определение.} \emph{Узлом} будем называть такую точку на плоскости,
 у которой её обе координаты (по оси $x$ и по оси $y$) --- целые.

 {\bf Определение.} \emph{Целым} будем называть такой многоугольник (отрезок или вектор) на плоскости,
 что его вершины (концы) являются узлами.

\begin{fact}[правило параллелограмма] Если вектор $\overline{AB}$
--- целый, а точка $C$ является узлом, то точка $D$, определяемая
равенством  $\overline{CD}= \overline{AB}$, также является узлом.
\end{fact}

\begin{fact}[правило отрезка] Если целый отрезок $AB$ содержит ровно
$n\geqslant 0$ узлов (не считая концы), то эти узлы делят $AB$ на
$n+1$ равный отрезок.
\end{fact}

\begin{fact}[правило пяти узлов] Если на плоскости дано 5 узлов,
 то середина хотя бы
одного из отрезков, соединяющих два из этих узлов, также является
узлом.
\end{fact}

\begin{itemize}
\item[1)] Докажите, что внутри выпуклого целого пятиугольника найдется
узел.

\item[2)] Докажите, что если внутри и на границе выпуклого целого
четырехугольника нет узлов, кроме вершин, то это параллелограмм.

\item[3)] Строго внутри целого треугольника расположен целый выпуклый
четырехугольник. Докажите, что внутри треугольника расположен по
крайней мере ещё один узел, отличный от вершин четырехугольника.

\item[4)] Внутри целого треугольника $ABC$ расположено ровно
$n > 0$ узлов. Какое наибольшее число узлов может находиться на стороне
$BC$ (не считая вершины)?

{\bf Контрольный вопрос.} Чем плох случай $n=0$?

\item[5)] Внутри целого
треугольника расположено ровно $n$ узлов. Докажите, что из этих $n$
узлов можно выбрать два различных узла таких, что прямая проходящая
через них содержит одну из вершин треугольника или параллельна одной
из сторон, если a) $n=2$ ; б) $n>2$.

Желающие могут решить эту задачу заменив в условии ``треугольник'' на ``выпуклый многоугольника''.

\item[6)] Внутри целого невыпуклого многоугольника расположено ровно $n>1$
узлов. Верно ли, что из этих $n$ узлов можно выбрать два различных
узла таких, что прямая проходящая через них содержит одну из вершин
треугольника или параллельна одной из сторон.

\item[7)] Центр описанной окружности $O$ неравнобедренного
остроугольного целого треугольника $ABC$ является узлом. Какое
наименьшее число узлов может быть внутри этого треугольника $ABC$?

\item[8)] В выпуклом многоугольнике (возможно не целом) на плоскости содержится не меньше $m^2+1$ узлов. Докажите, что в нем найдется $m+1$ узел, которые лежат на одной прямой.
\end{itemize}
\end{document} 