\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\pagestyle{empty}
\advance\textwidth50mm
\advance\textheight80mm
\advance\voffset-20mm
\advance\voffset-10mm
\advance\hoffset-30mm

\sloppy


\def\zz{

\begin{center}
{\bf
Касающиеся окружности и лемма Саваямы.}\\
(составил П. Кожевников)

\end{center}

\vspace{3mm}

%\begin{center}
%Приложения леммы Саваямы.}
%\end{center}

Для решения многих задач о касающихся окружностях может быть полезна следующая

{\it лемма Саваямы}. Пусть $A, B, C, D$ --- точки на окружности $\Omega$, окружность $\Gamma$ касается $\Omega$, а также 
касается прямых $AC$ и $BD$ в точках $K$ и $L$. Тогда прямая $KL$ проходит через центр вписанной либо внеписанной (в зависимости от расположения точек) окружности 
каждого из треугольников $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$.

\vspace{3mm}

%%%Есть халявное док-во Саваямы через Паскаля и ключевую лемму (см. мою статью в Матпросе) о том, что
%%%середина дуги и точка касания....
%%%

%%%Дальше из Паскаля следует Саваяма!!!!!!

%это оно !!! \item Сюжет про касание Шарыгина (с Соросовской олимпиады...) и обобщение.
%связь с теоремой Фейербаха.
%%%




\begin{enumerate}


\item (ЛКТГ 1999) %(М. Сонкин, П. Кожевников --- с конференции тургора)
%http://www.turgor.ru/lktg/1999/okr.php
Дан треугольник $ABC$. Окружность $c_1$ лежит вне треугольника $ABC$, касается окружности $(ABC)$ и касается 
отрезка $AB$  в точке $B'$. Аналогично окружность $c_2$ лежит вне треугольника $ABC$, касается окружности $(ABC)$ и касается 
отрезка $AC$  в точке $C'$. Докажите, что если  $BC\parallel B'C'$, то одна из 
 общих касательных к окружностям $c_1$ и $c_2$ параллельна $BC$.

%Пусть $B_1$ и $C_1$ на сторонах $AB$ и $AC$ так, что $B_1C_1$ --- общая касательная;
%пусть $K_b$ и $K_c$ --- точки пересечения $B_1C_1$  с окружностью.
%пусть $T_b$ и $T_c$ --- точки касания $B_1C_1$ с окружностями.
%$AK_bK_c$. Пусть $I_1$ --- центр вписанной окружности треугольника $AB_1C_1$.
%Из гомотетии треугольников $JT_bT_c$ и $I_1B_1C_1$ легко вытекает $B'C'\parallel BC$.

% Связь со следствием 2 из теоремы о луночках. Необходимо понять (из подобия), что отношение радиусов вписываемых окружностей постоянно.
% Можно совместить подобием $AB$ и $AC$ и получить картинку из следствия 2.

\item {\footnote{Cм. например, 4.7.19 из книги А. Акопяна "`Геоматрия в картинках"'.}}
В окружности проведены хорды $AC$ и $BD$, пересекающиеся в точке $K$.
В криволинейные треугольники $ABK$ и $CDK$ вписаны окружности.
Тогда общие внешние касательные к ним параллельны прямым $BC$ и $AD$.

%(Решение от Акопяна)
%Пусть $P$, $Q$ --- точки касания первой окружности с хордами,
%$R$ и $S$ --- второй.
%Достаточно $MN$ --- радикальная ось, где $M$ и $N$ --- середины дуг $AD$,
%то есть, что $MN$ --- средняя линия трапеции $PQRS$.
%Пусть $I_D$ --- центр вписанной окружности $ABC$, и т.д.
%Тогда по лемме $I_C, I_D \in PQ$, $I_A, I_B \in RS$.
%Но $NI_D = NI_A$, поэтому $NM$ --- биссектриса, медиана и высота треугольника
%$NI_AI_D$.

\item а)  (Теорема Тебо \footnote{См., например, статью В. Протасова "`От Тебо до Фейербаха"' в "`Кванте"' 4-2008.}) 
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбирается точка $D$. Окружность $c_1$ касается отрезков $AD$, $BD$ и окружности $ABC$;
аналогично окружность $c_2$ касается отрезков $AD$, $CD$ и окружности $ABC$. 
Докажите, что линия центров окружностей $c_1$ и $c_2$ проходит через~$I$.

Найдите точки $D$, для которых б) окружности $c_1$ и $c_2$ касаются; в) окружности $c_1$ и $c_2$ равны.
%конечно есть внешний вариант с нагелианой..
%Болгария 20011?TST???

%в) эквивалентно шортлист 1992, из Индии
%тут можно и без Саваямы обойтись леммой о трезубце

\item (Сhina MO 2011, переформулировано)
Пусть точки $A$, $E$, $B$, $X$, $D$, $C$, $S$ расположены на окржности именно в этом циклическом порядке.
Пусть $D$ --- середина дуги $BXC$, $E$ --- середина дуги $ABX$, $SD\cap BC=R$, $SE\cap AX=T$. 
Докажите, что если $RT \parallel DE$, 
то центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, лежит на прямой $RT$.

%Точка $D$ --- середина дуги $BC$ окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, 
%точка $X$ лежит на дуге $BD$, точка $E$ --- середина дуги $AX$, точка $S$ лежит на дуге $AC$, отрезок $SD$ пересекает отрезок $BC$ в точке $R$, 
%отрезок $SE$ пересекает отрезок $AX$ в точке $T$ (см. рис.). Докажите, что если $RT \parallel DE$, 
%то центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, лежит на прямой $RT$.
%%China 2011

\item (Теорема о луночках \footnote{Cм. статью "`Еще раз о точке Фейербаха"', "`Мат. Прос."', 2012. Из теоремы о луночках несложно выводится теорема Фейербаха. 
См. также задачу М2168 из задачника "`Кванта"' 1-2010}) % --- поправить формулировку)
Пусть даны дуги окружностей $c_1$ и $c_2$, имеющие общие концы $M$, $N$ и лежащие по разные стороны от прямой $MN$.
На дуге $c_1$ выбирается точка $X$. Окружность $s _1$ вписана в треугольник 
$XMN$, а окружность $s _2$ касается отрезков
$XM$, $XN$ и дуги $c_2$. Тогда отношение
радиусов окружностей $s_1$ и $s_2$
не зависит от выбора точки $X$.

%\item Выведите теорему Фейербаха из теоремы о луночках.

%\item (задачник "`Кванта"' 1-2010, М2168)
%Дан четырехугольник $ABCD$,  вписанный в окружность $\omega$. Пусть
%$R_1$ --- радиус окружности, касающейся отрезков $AB$, $AD$ и окружности $\omega$,
%$R_2$ --- радиус окружности, касающейся отрезков $CB$, $CD$ и окружности $\omega$.
%Проводятся всевозможные дуги окружности $BD$, разбивающие четырехугольник на два
%криволинейных треугольника.
%Докажите, что сумма радиусов, вписанных  эти криволинейные треугольники, не зависит от
%выбора дуги $BD$ тогда и только тогда, когда $R_1=R_2$.
%% Про сумму радиусов... (А. Заславский)


% Обобщение: Даны два сегмента на хорде $AB$. В них вписываются пары окружностей, касающиеся $AB$ в одной точке $X$. Тогда отношение радиусов этих окружностей постоянно.



%Луночки эквивалентны теореме о сегменте из статьи Протасова 1992 г.

%
%
\item (China Girls MO 2013 \footnote{См. также задачу с олимпиады Болгарии 2005 г., http://yufeizhao.com/olympiad/geolemmas.pdf}) %No 7 %(внешний вариант: точка $N$ --- центр вневписанной окружности для треугольника $ABC$.)
Окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$ касаются друг друга внешним образом в точке $T$, 
четырехугольник $ABCD$ вписан в $\Omega _1 $ так что $T$ лежит на дуге $AB$, не содержащей $C$. Лучи  $DA$, $CB$ касаются $\Omega_2 $  в точках  $E$ и $F$ соответственно. 
Биссектриса угла  $ABF$ пересекает отрезок $EF$ в точке $N$. Прямая $FT$ пересекает дугу $AT$, не содержащую $B$,
в точке $M$. Докажите, что $M$ --- центр описанной окружности треугольника  $BCN$.

%M- середина дуги BC, поэтому по Саваяме N - центр вневписанной для ABC, кроме того M, T, N, E - окр.

%As shown in the figure, $\odot O_1$ and $\odot O_2$ touches each other externally at a point $T$, quadrilateral $ABCD$ is inscribed in $\odot O_1$, and the lines $DA$, $CB$ are tangent to $\odot O_2$ at points $E$ and $F$ respectively. Line $BN$ bisects $\angle ABF$ and meets segment $EF$ at $N$. Line $FT$ meets the arc $\widehat{AT}$ (not passing through the point $B$) at another point $M$ different from $A$. Prove that $M$ is the circumcenter of $\triangle BCN$.





%?? Задача Бабичева про радик. центр.
%Мокин -- рум. мастерс.

%???случай равнобедр треугольника пары гомотетичных окружностей из 24-х

%\item  (Устная олимпиада по геометрии 2012 г., 10.6)
%Касательные, проведенные к описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ в точках $A$ и $C$, пересекаются в точке $Z$. 
%$AA_1$, $CC_1$ --- высоты. Прямая $A_1C_1$ пересекает прямые $ZA$, $ZC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $XYZ$ 
%касаются. 
%%%%ЭТО ПРО ПОЛУВПИСАННУЮ


\item (Устная олимпиада по геометрии 2013 г., задача 10.6)
Трапеция $ABCD$ вписана в окружность~$w$  ($AD \parallel BC$).  Окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ABD$, касаются оснований трапеции $BC$ и $AD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точки $X$ и $Y$ --- середины дуг $BC$ и $AD$ окружности $w$, не содержащих точек $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что прямые $XP$ и $YQ$ пересекаются 
на окружности $w.$



%\item %[M2340.]$^*$ 2-2014, Колм
%Четырехугольник $ABCD$ описан около  окружности $\omega$. Пусть $I$ и $J$ --- центры окружностей, вписанных в треугольники $ABC$ и $ADC$ соответственно.
%Каждая из окружностей $\gamma_B$, $\gamma_D$ проходит через точки $A$ и $C$. Эти окружности касаются окружности $\omega$ в точках $K$ и $L$.
%Докажите, что точки $I, J, K, L$ лежат на одной окружности.
%%(Ф. Ивлев)




\end{enumerate}
}


\begin{document}
\zz

\end{document}

