%\documentclass[11pt]{article}
%\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage{amsmath}
%\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\pagestyle{empty}
%\advance\textwidth50mm
%\advance\textheight80mm
%\advance\voffset-20mm
%\advance\voffset-10mm
%\advance\hoffset-30mm

%\sloppy


\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts}
\usepackage{epsfig}

%\usepackage{lhcyralt}
%\usepackage{amsmath}
%\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}

\pagestyle{empty}
\advance\textwidth55mm
\advance\textheight85mm
\advance\voffset-20mm
\advance\voffset-17mm
\advance\hoffset-30mm

\sloppy



\begin{document}

\begin{center}
{\bf
{\large Обобщенная теорема Фейербаха}}\\
составил П.А. Кожевников


\end{center}



Предлагаемая серия задач имеет целью доказательство
обобщенной теоремы Фейербаха (теоремы  Айера)
об угле между педальной окружностью и окружностью девяти точек.
В основном мы следуем схеме, предложенной Дарием Гринбергом в
замечательной статье \cite{grin}. Статья \cite{grin}
содержит более 40 страниц, на которых приведено подробное геометрическое
доказательство не только теоремы Айера,
но и других красивых результатов. Чтобы получить возможно более короткое геометрическое
доказательство теоремы Айера, мы попробовали сделать в схеме некоторые упрощения
(в частности, использование в схеме задачи 0.3). Также некоторые
упрощения появились после занятий со школьниками, проведенных на Восьмой смене "Юный математик"
(2012 г.) в ВДЦ "Орленок", в частности полезными оказались замечания
М. Дидина.

%%Дарий Гринберг


\begin{center}

{\bf Предварительные задачи.}

\end{center}

Предлагаем доказать несколько известных фактов, которые будут полезны в основной серии.


\begin{itemize}

\item[0.1.] \label{antiSt} Дана прямая, проходящая через ортоцентр треугольника.
Тогда прямые, симметричные этой прямой относительно его сторон,
пересекаются в одной точке, лежащей на описанной окружности.
%называется Anti-Steiner point точка анти-Штейнера прямой относительно треугольника.
%решение --- динамика (крутим)
%эквивалентное : прямые симметричные точке $K\in \Omega$ относительно сторон --- на одной прямой, проходящей чеорез $H$
%или прямая Симсона точки $K\in \Omega$ делит пополам $KH$.

\item[0.2.] \label{Hsym} Дан параллелограмм $ABCD$.
Пусть точка $K$ --- точка на описанной окружности треугольника $ABC$,
и $K'$ симметрична $K$ относительно $AC$.
Тогда $\angle DK'H = 90^{\circ}$, где $H$ --- ортоцентр треугольника $ABC$.

%\item[0.3.] Дан треугольник $ABC$ и точка $P$.
%Пусть $AH_a$, $AH_b$, $CH_c$ --- высоты треугольника,
%а $X, Y, Z$ --- проекции $P$ на $BC$, $CA$, $AB$ соответственно
%(то есть $XYZ$ --- педальный треугольник точки $P$\footnote{Для точки описанной окружности
%педальный треугольник вырождается в прямую Симсона.}).
%Докажите, что ортоцентр треугольника $AYZ$ --- это образ точки $P$ при подобии, переводящем
%$\triangle ABC$ в $\triangle  AH_bH_c$.
%%он же --- точка симметричная $P$ относительно середины $YZ$ (достроение до ц.-симметричного
%%шестиугольника)

% Обобщение з. Емельянова (см. серию Емельянова замечательные точки треугольника с тургора)


\item[0.3.] Даны три пары точек $A$ и $A_1$, $B$ и $B_1$, $C$ и $C_1$, симметричных относительно данной точки.
Докажите, что
либо точки $A, B, C, A_1, B_1, C_1$ лежат на одной окружности, либо
описанные окружности треугольников $ABC_1$, $BCA_1$, $CAB_1$, $A_1B_1C_1$ имеют единственную общую точку.


\item[0.4.] %угол между педальными окружностями.
Дан треугольник $ABC$, а также точки $P$ и $P'$.
Пусть $XYZ$ и $X'Y'Z'$ --- педальные треугольники точек $P$ и $P'$ соответственно.
Пусть $S$ --- общая точка педальных окружностей $(XYZ)$ и $(X'Y'Z')$,
а $l$ и $l'$
--- касательные к ним, проведенные в точке $S$. Докажите, что
$\angle (l, l') = 2\angle (SX, SX')
- \angle (PA, AC) + \angle (PB, BA) + \angle (PC, CB)
+ \angle (P'A, AC) - \angle (P'B, BA) - \angle (P'C, CB).$
\footnote{Утверждение задачи фактически означает, что для нахождения угла между двумя педальными окружностями
достаточно найти угол $\angle (SX, SX')$.}

%Чтобы сразу следовало если $\angle (RH_a, XR) = 2 \angle (BC, AP)$...

%Пусть $R$ --- общая точка окружностей $(XYZ)$ и $\Omega$, а $l_p$ и $l'$
%--- касательные к $(XYZ)$ и $\Omega$, проведенные в точке $R$. Докажите, что
%$\angle (l_p, l') = 2\angle (RH_a, XR)+ \angle A'C'H_a +\angle ZXB + \angle XYZ.$??
%Чтобы сразу следовало если $\angle (RH_a, XR) = 2 \angle (BC, AP)$...


\begin{center}

{\bf Основные задачи.}

\end{center}

Пусть $ABC$ --- треугольник. Введем обозначения (которые будут действовать
во всех основных %и дополнительных
задачах):
$H$ --- ортоцентр; $H_a, H_b, H_c$ --- основания высот;
%$G_a, G_b, G_c$ --- середины отрезков $AH$, $BH$, $CH$.
$A'$, $B'$, $C'$ --- середины сторон;
$\Omega ' = (A'B'C')$ --- окружность 9 точек (проходящая также через точки
$H_a, H_b, H_c$); %, $G_a, G_b, G_c$, $A'$, $B'$, $C'$).
%$\Omega$ --- описанная окружность,
$O$ --- центр описанной окружности. %, $R$ --- ее радиус;

%$I$ --- центр вписанной окружности;
%$\omega$ --- вписанная окружность, $I$ --- ее центр, $r$ --- ее радиус;

%$A_1$, $B_1$, $C_1$ --- точки
%ее касания со сторонами;
%$\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ --- вневписанные окружности,
%$I_A$, $I_B$, $I_C$ --- их центры,
%$A_2$, $B_2$, $C_2$ --- точки их касания со сторонами;

Пусть $P$ --- произвольная точка плоскости, отличная от $O$;
$XYZ$ --- ее педальный треугольник
(то есть $X, Y, Z$ --- проекции точки $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$ соответственно).

Мы введем в рассмотрение точку $L$ как точку пересечения прямых $x, y, z$, симметричных
$OP$ относительно сторон треугольника $A'B'C'$.\footnote{Заметим, что
$L$ зависит от прямой $OP$ (но не от положения точки $P$ на ней).}
Согласно задаче 0.1, точка $L$ существует и лежит на окружности $\Omega '$.

%\footnote{Заметим, что точка $L$
%зависит от прямой $OP$ (и не изменяется при движении $P$ по этой прямой).}
%Согласно задаче 1.1 $L\in \Omega'$.
%Из задач ниже вытекает еще несколько эквивалентных описаний
%и интересных свойств точки $L$,
%в частности $L$ --- это общая точка окружностей $\Omega '$ и  $(XYZ)$.
%Используя найденные свойства точки $L$, можно отыскать угол между касательными
%к окружностям $(A'B'C')$ и  $(XYZ)$, проведенным в точке~$L$.

Пусть $X'$, $Y'$, $Z'$ симметричны $L$ относительно $B'C'$, $C'A'$, $A'B'$ соответственно.

\item[1.] Докажите, что $X'$, $Y'$, $Z'$ --- проекции $A$, $B$, $C$ на $OP$.
%по задаче \ref{Hsym}
%Так, $L$ --- ортопол прямой $OP$.
%О существовании и свойствах ортопола (ортологичность, Honsberger)

%(рис. 2 \cite{grin})

%$AH_aLX'$ --- симм. отн $B'C'$.
%(рис. 4 \cite{grin})


% в решении $X''$ симм. $X$ отн. $B'C'$,...

Определим $D, E, F$ как ортоцентры треугольников $AYZ$, $BZX$, $CXY$ соответственно.
%Пусть $x'$, $y'$, $z'$ --- образы прямой $OP$ при подобии,
%переводящем  треугольник $ABC$  в треугольники $AH_bH_c$, $H_aBH_c$, $H_aH_bC$ соответственно.

%\item[2.2.] а) Докажите, что $x' = G_aD $; б) Докажите, что $x' = G_aL $.
%%(рис. 12 \cite{grin})


\item[2.] Докажите, что окружность $(EXF)$

а) получается из окружности $(AYPZ)$
параллельным переносом на вектор $\overrightarrow{PX}$;

б) содержит $H_a$;

в) симметрична окружности с диаметром $AP$ относительно $B'C'$;

г) проходит через $L$.



\item[3.] Докажите, что $L\in (XYZ)$.
%(это 2? теор. Фонтене по модулю $L\in (XYZ)\cap \Omega'$).


\item[4.] а) Докажите, что $\angle (LX, LH_a) = \angle (AP, AH_a)$.

б) (теорема Айера)
Докажите, что (ориентированный) угол между касательными к окружностям
$(XYZ)$ и $\Omega '$, проведенными в точке $L$, равен
равен $\dfrac{\pi}{2}-\angle (PA, AB)-\angle (PB, BC) -\angle (PC, CA)$.

%Через дугу $PP_a$..

%\begin{center}

%{\bf Дополнительные задачи.}

%\end{center}

%Положим $A'' = B'C' \cap YZ$, $B'' = C'A' \cap ZX$, $C'' = A'B' \cap XY$.
%
%\item[3.1] %помимо статьи Д. Гринберга, эта задача предложена В. Ивлевым в задачнике "Мат. просвещения"
%Докажите, что $L= XA'' \cap YB'' \cap ZC''$.
%%(рис. 9 \cite{grin})
%%(это 1? теор. Фонтене по модулю $L\in (XYZ)\cap \Omega'$).???


%\item[5.] (Третья теорема Фонтене) Пусть точка $P'$ изогонально
%сопряжена точке $P$. Докажите, что
%$(XYZ)$ касается $\Omega'$ тогда и только тогда, когда
%точки $O, P, P'$ лежат на одной прямой.

%\item[3.3]
%Получите следствия доказанных фактов в частных случаях:
%а) $P=H$; б) $P=I$; в) $P\in \Omega$.


%\item[6.]
%Опишите точки на описанной окружности, для которых прямая Симсона касается $\Omega'$.


%Положим $A'' = B'C' \cap YZ$, $B'' = C'A' \cap ZX$, $C'' = A'B' \cap XY$.
%
%\item[7.] %помимо статьи Д. Гринберга, эта задача предложена В. Ивлевым в задачнике "Мат. просвещения"
%Докажите, что $L= XA'' \cap YB'' \cap ZC''$.
%%(рис. 9 \cite{grin})



\end{itemize}

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{grin}
D. Grinberg. Generalization of the Feuerbach point. 
\vspace{-10mm}
\begin{verbatim}

http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/geometry2.html
\end{verbatim}


\bibitem{kozhshvetsov}
П. Кожевников, Д. Швецов. Обобщенная теорема 
Фейербаха.\\
Сборник «Задачи Санкт-Петербургской олимпиады по математике 2013 года». --- Москва: МЦНМО, 2014, с. 149 --- 164.



\end{thebibliography}


\end{document}
