\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\pagestyle{empty}
\advance\textwidth60mm
\advance\textheight70mm
%\advance\voffset-20mm
\advance\voffset-30mm
\advance\hoffset-35mm

\sloppy







\begin{document}


\begin{center}
{\large
{\bf ��������� ���������������: �������� ��� � ������ ��������� �����������. }\\
(������� �.�. �����������)}
\end{center}

%{\bf 1. �������� ���.}
%����� �� 12 ������� ���!!???

����� ��������������� $ABCD$ ������ � ���������� � ������� $O$; $M_1, M_2, M_3, M_4$ --- �������� ��� 
$AB$, $BC$, $CD$, $DA$ (�� ���������� ������ ������ �����������������); $X=AB\cap CD$, $Y=BC\cap DA$, $Z=AC\cap BD$. 

%������ ��������� ��� ������������ (���, ������� ����� ��� ���������������� $ABCD$) ����������� ������������� 
%$ABY$, $BCX$, $CDY$, $DAX$, ���������� ������ $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ ��������������.  

%�������� ��������� �����������.



\begin{itemize}

\item[1.] 
(������� �����������) 
�) ��������, ��� ����� ������� ���� ���������������� ����������� (��� ���������) ���, ��� 
���������� � ������� ����������� ����� ����� ������ ������
$AB$ � $CD$, $AC$ � $BD$, $AD$ � $BC$ ����� ����������� ����;
%{\bf �������} --- ����� �������������.

�) ������ � �������� ���� ����� ������� ������ $M_1M_3$ �  $M_2M_4$.



\item[2.] (�������������)
�) ��������, ���  ������ ��������� ����������� ������������ $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ �������� ��������� ��������������.
%������� ����������� ��� ������ � ��� �����.
% ������� ��� ������������� ����������� ���� ��� ������� ������������ �����������.

�) ���������� ��������� ������ ����� ��������������.

\end{itemize}


����� $J_1J_2J_3J_4$  --- ���������������, ������������ � ����������� ������� ���������� 
(�.�. $J_1$ --- ����� ����������� ������� ���������� ����� $\angle A$ � $\angle B$, � �.�.)


\begin{itemize}

\item[3.]  (����������) 
�)  ��������, ��� ����� $J_1$, $J_2$, $J_3$, $J_4$ ����� �� ����� ����������;

�) ������ ����� ���� ���������� ����� �� ������ $OZ$.

\end{itemize}

%������� ������ ����������� �����������. %��. ����� ���������� --- ����. ��������� (9-7 --- ���� ������� ����� ����������� ����������� ������������ $O$).

%{\bf �������.} : $XY$ --- ����������� ��� ���. $(ABCD)$ � $(J_1J_2J_3J_4)$, ������� �� ����� ������� $OO' \perp XY$. �� $OZ \perp XY$.  


����� $I_1$, $I_2$, $I_3$, $I_4$ --- ������ ��������� ����������� ������������� 
$ABZ$, $BCZ$, $CDZ$, $DAZ$.  

\begin{itemize}

\item[4.] (������) �) (�. �����, ������������� ��������� 2007 �., �������� ����)
��������, ��� ������ $I_1J_1$ �������� ����� $M_1$.

%{\bf �������}. 1) (�����) ����� $P$ � $Q$ --- �������� ��� $AC$ � $BD$. ����� $I_2=CK\cap BM$, $J_2=BP\cap CQ$, $PL\parallel CK \parallel BJ_2$ � ����������...
%����� ������������� ������������ $KLM$ � $BJ_2C$, $KI_2C$ � $BLQ$.

%%2) �������� ����, �������� ���������� ��� ��������������� ������������ $BLC$:
%$\angle J_2BL = \ange I_2CB =x $, $\angle J_2CL = \ange I_2BC =y $.  
%����� ������� ���� ��� ������������ ������������� ��� $BCL$...

%3) �� ����� � �������� $BI_{ABC}I_{BCD}C$ --- ���������� � ������� $L$. ��� ��� �������� �������� �����: ����� ($L$), ����� ����������� ���������� ($I_2$)
%� ����� ����������� �������������� � $BI_{ABC}$ � $I_{BCD}C$ ($J_2$) ����� �� ����� ������. (����������) 

�) (�. ����������, ������������� ��������� 2010 �.) ��������, ��� ������ $I_1M_1$, $I_2M_2$, $I_3M_3$, $I_4M_4$
������������ � ����� �����; 
%(������� ����������� �����).

%{\bf �������.} ������� ��� ������ $J_1K$, $J_2L$, $J_3M$, $J_4N$. ��� ������������ � ������ ��������� $H$ ����������������� $J_1J_2J_3J_4$ � $KLMN$. 


�) (�. ��������, "�����" 5-2010) ��� ���� ����� ����������� �� ������ �) �����
�� ������ $OZ$.

%{\bf �������.} ���� ����� $H$ ����� �� ����� ������� $OO'$, ������ (�� ������ 3 �� $OZ$).

\end{itemize}

\newpage


\begin{center}
{\bf ����������� � ��������.}
\end{center}

\vspace{2mm}

1.  ��� ������� ������ ������������ {\it ������������������}: ��� ��������� ������������ ����������� ���� ����� ������� $a$ � $b$ ������ ��������� � �������������.
���, � ������� ���� ���� � ������ 1,  --- ��� ������� ����������� ����� ������ �� ����� �����, ���������� ����� ����� $A, B, C, D$.

\vspace{2mm}

2. �� {\it ����� � ��������} �������, ��� ������ �����������, ��������� � ������������ $ABC$ � $ABD$, ����������� ������������ $M_1M_3$.

\vspace{2mm}


3.  $XY$ --- ����������� ��� ����������� $(ABCD)$ � $(J_1J_2J_3J_4)$, ������� �� ����� ������� ��������������� $XY$. �� $OZ \perp XY$.  

�������, ��� ����������� ����������� ����� ��� ���������� ����������: ��������������� $K_1K_2K_3K_4$, ������������ ����������� �������������,
���������, � ����� ���������� $(K_1K_2K_3K_4)$ ����� �� $OZ$. ����� ����, ������ ����������� $(J_1J_2J_3J_4)$ � $(K_1K_2K_3K_4)$ �����������
������������ $O$ (��. ������ �. �����������, �������������� ��������� ��. �.�. ��������, ������ 9.4, 2011 ���).
%http://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=64977

���, ���������� $(ABCD)$, $(J_1J_2J_3J_4)$ � $(K_1K_2K_3K_4)$ --- �� ������ ����� ($XY$ --- �� ����� ����������� ���). � ���� �� �����
����������, ����������� �� $OZ$ ��� �� ��������. 
%��� ��������� ����� $XY$, ��� �������� �������������� ����� ����������� (��������� ����. ���,. ���������������� �����...)


\vspace{2mm}

4.  �) �������� ��� ��������� ���� �������������� ����, ��� $J_2$, $M_2$, $I_2$ �� ����� ������.

 1) (�. �����) ����� $P$ � $Q$ --- �������� ��� $ABC$ � $BCD$. ����� �������� ���������� (������� �������������� ��������������� ������), ��� 
����������� $M_1M_3I_2M_2$ � $PQM_2J_2$ �����������, ������ ������ $I_2M_2$ � $M_2J_2$ ����� ���� � �� �� ����������� � �������� ����� ����� ���������,
������� ���������.
% $I_2=CM_1\cap BM_3$, $J_2=BP\cap CQ$, $PL\parallel CK \parallel BJ_2$ � ����������...
%����� ������������� ������������ $KLM$ � $BJ_2C$, $KI_2C$ � $BLQ$.

 2) ��� ��������������� ������������ $BM_2C$ ����� ����������:
$\angle J_2BM_2 = \angle I_2CB =x $, $\angle J_2CM_2 = \angle I_2BC =y $.  
����� ����� ��������������� �������� ���� ��� ������������� ������������� ��� ������������ $BM_2C$.

 3) �� ����� � �������� $BI_{ABC}I_{BCD}C$ --- ���������������, ��������� � ���������� � ������� $M_2$. 
���������� ��������, ��� � ���: ����� (����� $M_2$), ����� ����������� ���������� (����� $I_2$)
� ����� ����������� �������������� � ��������������� ��������, ���������� ����� $B$ � $C$ (����� $J_2$) ����� �� ����� ������. 
(��� �������������� ����� ������������ ����������.) 

�) ������ $J_1M_1$, $J_2M_2$, $J_3M_3$, $J_4M_4$  ������������ � ������ ��������� $H$ ����������������� $J_1J_2J_3J_4$ � $M_1M_2M_3M_4$. 

�)  $H$ ����� �� ����� ������� ��������� �����������, �� ���� ��  $OZ$ (�� ������ 3).


%%����� ����� ����������� ������� �������, � ������� ���-��� ������� ��� � �.�.

\end{document}
