VI Olimpiada imeni I.F.Sharygina. Zaochniy tur

Шестая Всероссийская олимпиада по геометрии имени Игоря Федоровича Шарыгина (2010 год)

Внимание! В задаче 15 исправлена опечатка.
Внимание! В задаче 8 исправлена опечатка

Приводим условия задач заочного тура шестой геометрической олимпиады им. И.Ф.Шарыгина.

В олимпиаде могут участвовать школьники 8–11 классов. В списке задач, приведенном ниже, после порядкового номера каждой задачи указано, учащимся каких классов (на момент проведения олимпиады) она предназначена. Впрочем, можно решать также задачи и для более старших классов (решенные задачи для младших классов при подведении итогов не учитываются).

Решения задач на русском языке должны быть посланы не позднее 1 апреля 2010 года.

Рекомендуется присылать решения по электронной почте в форматах pdf, doc или jpg на адрес geomolymp@mccme.ru. При этом во избежание потери работы нужно соблюдать следующие правила.

Каждую работу следует посылать отдельным письмом.
Если работа содержится в нескольких файлах, желательно присылать их в виде архива.
В теме письма нужно написать "работа на олимпиаду им.Шарыгина", а в тексте привести следующие сведения об участнике:
– фамилию, имя, отчество;
– полный почтовый адрес с индексом, телефон, E-mail;
– класс, в котором сейчас учится школьник;
– номер и адрес школы;
– ФИО учителей математики и/или руководителей кружка.

Если у Вас нет возможности прислать работу в электронном виде, пришлите ее простой бандеролью (или принесите сами) в обычной тетради, не сворачивая тетрадь в трубку, по адресу:
119002, Москва Г-002, Большой Власьевский пер., д. 11., МЦНМО. На олимпиаду им. И.Ф.Шарыгина.
На обложке тетради обязательно укажите все сведения, перечисленные выше в п.3.

Решение каждой задачи начинайте с новой страницы: сначала надо переписать условие, затем записать решение, причем старайтесь писать подробно, приводя основные рассуждения и выкладки, делая аккуратные чертежи. Если задача на вычисления, в конце ее решения должен быть отчетливо выделенный ответ. Пишите аккуратно, ведь Вы же заинтересованы в том, чтобы Вашу работу можно было понять и справедливо оценить!

Если Вы пользуетесь в решении какой-то известной теоремой или фактом, приведенным в задаче из школьного учебника, можно просто на это сослаться (чтобы было понятно, какую именно теорему или факт Вы имеете в виду). Если же Вам необходим факт, не встречающийся в школьном курсе, его обязательно надо доказать (или сообщить, из какого источника он взят).

Ваши работы будут тщательно проверены, и Вы получите (не позднее середины мая 2010 г.) ответ жюри. Победители заочного тура — учащиеся 8–10 классов будут приглашены на финальный тур, который состоится летом 2010 года в г. Дубна под Москвой. Победители заочного тура — выпускники школ получат Грамоты оргкомитета олимпиады.

Условия задач заочного тура

English version also available PDF, 90K

(8) Существует ли треугольник, в котором одна сторона равна какой-то из его высот, другая – какой-то из биссектрис, а третья – какой-то из медиан?
(8) В прямоугольном треугольнике ABC (угол C равен 90^o) биссектрисы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке I. Пусть O – центр описанной окружности треугольника CA₁B₁. Докажите, что OI перпендикулярен AB.
(8) Точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC. Точка X такова, что и . Докажите, что четырёхугольник XA'BC' – вписанный.
(8) Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке N. Окружности, описанные вокруг треугольников ANB и CND, повторно пересекают стороны BC и AD в точках A₁, B₁, C₁, D₁. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ вписан в окружность с центром N.
(8–9) На высоте BD треугольника ABC взята точка E такая, что угол AEC равен 90^o. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O₁O₂. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.
(8–9) На стороне BC равностороннего треугольника ABC взяты точки M и N (M лежит между B и N) такие, что угол MAN равен 30^o. Описанные окружности треугольников AMC и ANB пересекаются в точке K. Докажите, что прямая AK содержит центр описанной окружности треугольника AMN.
(8–9) Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане BM. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из A и C (или их продолжения), в точках K и N. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABK и CBN соответственно. Докажите, что O₁M=O₂M.
(8–10) В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки I_b и I_c – центры вписанных окружностей треугольников ABH и ACH; L – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LI_bI_c.
(8–10) Назовём точку внутри треугольника хорошей, если три чевианы через неё равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?
(8–11) Дан треугольник ABC. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне AB такую точку D, что AD/BD=BC/AC.
(8–11) Выпуклый n-угольник разрезан на 3 выпуклых многоугольника. У одного из них n сторон, у другого – больше, чем n, у третьего – меньше, чем n. Каковы возможные значения n?
(9) В прямоугольном треугольнике ABC AC – больший катет, CH – высота, проведенная к гипотенузе. Окружность с центром H и радиусом CH пересекает катет AC в точке M. Точка B' симметрична точке B относительно H. В точке B' восставлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке K. Докажите, что: а) B'M || BC; б) AK – касательная к окружности.
(9) В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=BC. На диагонали BD выбрана точка K такая, что . Докажите, что .
(9–10) На стороне AD выпуклого четырехугольника ABCD нашлась такая точка M, что CM и BM параллельны AB и CD соответственно. Докажите, что .
(9–11) В остроугольном треугольнике ABC AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Прямые AA₁ и B₁C₁ пересекаются в точке K. Окружности, описанные вокруг треугольников A₁KC₁ и A₁KB₁ вторично пересекают прямые AB и AC в точках N и L соответственно. Докажите, что а) сумма диаметров этих окружностей равна стороне BC. б) A₁N/BB₁+A₁L/CC₁=1.
(9–11) В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. Прямая, проходящая через A, пересекает окружность в точках D и E. Хорда BX параллельна прямой DE. Докажите, что отрезок XC проходит через середину отрезка DE.
(9–11) Постройте треугольник по высоте и биссектрисе, проведенным из одной вершины, и медиане, проведенной из другой вершины.
(9–11) На хорде AC окружности w выбрали точку B. На отрезках AB и BC как на диаметрах построили окружности w₁ и w₂ с центрами O₁ и O₂, которые пересекают w второй раз в точках D и E соответственно. Лучи O₁D и O₂E пересекаются в точке F. Лучи AD и CE пересекаются в точке G. Докажите, что прямая FG проходит через середину AC.
(9–11) Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точки P и Q диаметрально противоположны C и D соответственно. Касательные к окружности в этих точках пересекают прямую AB в точках E и F (A лежит между E и B, B – между A и F). Прямая EO пересекает AC и BC в точках X и Y, а прямая FO пересекает AD и BD в точках U и V. Докажите, что XV=YU.
(10) Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Пусть A₂, B₂ – середины отрезков B₁C₁, A₁C₁ соответственно, O – центр описанной окружности треугольника, P – одна из точек пересечения прямой CO с вписанной окружностью. Прямые PA₂ и PB₂ вторично пересекают вписанную окружность в точках A' и B'. Докажите, что прямые AA' и BB' пересекаются на высоте треугольника, опущенной на AB.
(10–11) Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что . Докажите, что .
(10–11) Окружность с центром F и парабола с фокусом F пересекаются в двух точках. Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки A, B, C, D, что прямые AB, BC, CD и DA касаются параболы.
(10–11) Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что , , . Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.
(10–11) Дана прямая l в пространстве и точка A, не лежащая на ней. Для каждой прямой l', проходящей через A, построим общий перпендикуляр XY (Y лежит на l') к прямым l и l'. Найдите ГМТ точек Y.
(11) Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра. Найдите отношение ребер икосаэдров.

Шестая Всероссийская олимпиада по геометрии имени Игоря Федоровича Шарыгина (2010 год) Внимание! В задаче 15 исправлена опечатка. Внимание! В задаче 8 исправлена опечатка Приводим условия задач заочного тура шестой геометрической олимпиады им. И.Ф.Шарыгина. В олимпиаде могут участвовать школьники 8–11 классов. В списке задач, приведенном ниже, после порядкового номера каждой задачи указано, учащимся каких классов (на момент проведения олимпиады) она предназначена. Впрочем, можно решать также задачи и для более старших классов (решенные задачи для младших классов при подведении итогов не учитываются). Решения задач на русском языке должны быть посланы не позднее 1 апреля 2010 года. Рекомендуется присылать решения по электронной почте в форматах pdf, doc или jpg на адрес geomolymp@mccme.ru. При этом во избежание потери работы нужно соблюдать следующие правила. Каждую работу следует посылать отдельным письмом. Если работа содержится в нескольких файлах, желательно присылать их в виде архива. В теме письма нужно написать "работа на олимпиаду им.Шарыгина", а в тексте привести следующие сведения об участнике: – фамилию, имя, отчество; – полный почтовый адрес с индексом, телефон, E-mail; – класс, в котором сейчас учится школьник; – номер и адрес школы; – ФИО учителей математики и/или руководителей кружка. Если у Вас нет возможности прислать работу в электронном виде, пришлите ее простой бандеролью (или принесите сами) в обычной тетради, не сворачивая тетрадь в трубку, по адресу: 119002, Москва Г-002, Большой Власьевский пер., д. 11., МЦНМО. На олимпиаду им. И.Ф.Шарыгина. На обложке тетради обязательно укажите все сведения, перечисленные выше в п.3. Решение каждой задачи начинайте с новой страницы: сначала надо переписать условие, затем записать решение, причем старайтесь писать подробно, приводя основные рассуждения и выкладки, делая аккуратные чертежи. Если задача на вычисления, в конце ее решения должен быть отчетливо выделенный ответ. Пишите аккуратно, ведь Вы же заинтересованы в том, чтобы Вашу работу можно было понять и справедливо оценить! Если Вы пользуетесь в решении какой-то известной теоремой или фактом, приведенным в задаче из школьного учебника, можно просто на это сослаться (чтобы было понятно, какую именно теорему или факт Вы имеете в виду). Если же Вам необходим факт, не встречающийся в школьном курсе, его обязательно надо доказать (или сообщить, из какого источника он взят). Ваши работы будут тщательно проверены, и Вы получите (не позднее середины мая 2010 г.) ответ жюри. Победители заочного тура — учащиеся 8–10 классов будут приглашены на финальный тур, который состоится летом 2010 года в г. Дубна под Москвой. Победители заочного тура — выпускники школ получат Грамоты оргкомитета олимпиады. Условия задач заочного тура English version also available PDF, 90K (8) Существует ли треугольник, в котором одна сторона равна какой-то из его высот, другая – какой-то из биссектрис, а третья – какой-то из медиан? (8) В прямоугольном треугольнике ABC (угол C равен 90^o) биссектрисы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке I. Пусть O – центр описанной окружности треугольника CA₁B₁. Докажите, что OI перпендикулярен AB. (8) Точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC. Точка X такова, что и . Докажите, что четырёхугольник XA'BC' – вписанный. (8) Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке N. Окружности, описанные вокруг треугольников ANB и CND, повторно пересекают стороны BC и AD в точках A₁, B₁, C₁, D₁. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ вписан в окружность с центром N. (8–9) На высоте BD треугольника ABC взята точка E такая, что угол AEC равен 90^o. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O₁O₂. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой. (8–9) На стороне BC равностороннего треугольника ABC взяты точки M и N (M лежит между B и N) такие, что угол MAN равен 30^o. Описанные окружности треугольников AMC и ANB пересекаются в точке K. Докажите, что прямая AK содержит центр описанной окружности треугольника AMN. (8–9) Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане BM. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из A и C (или их продолжения), в точках K и N. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABK и CBN соответственно. Докажите, что O₁M=O₂M. (8–10) В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки I_b и I_c – центры вписанных окружностей треугольников ABH и ACH; L – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LI_bI_c. (8–10) Назовём точку внутри треугольника хорошей, если три чевианы через неё равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно? (8–11) Дан треугольник ABC. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне AB такую точку D, что AD/BD=BC/AC. (8–11) Выпуклый n-угольник разрезан на 3 выпуклых многоугольника. У одного из них n сторон, у другого – больше, чем n, у третьего – меньше, чем n. Каковы возможные значения n? (9) В прямоугольном треугольнике ABC AC – больший катет, CH – высота, проведенная к гипотенузе. Окружность с центром H и радиусом CH пересекает катет AC в точке M. Точка B' симметрична точке B относительно H. В точке B' восставлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке K. Докажите, что: а) B'M \|\| BC; б) AK – касательная к окружности. (9) В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=BC. На диагонали BD выбрана точка K такая, что . Докажите, что . (9–10) На стороне AD выпуклого четырехугольника ABCD нашлась такая точка M, что CM и BM параллельны AB и CD соответственно. Докажите, что . (9–11) В остроугольном треугольнике ABC AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Прямые AA₁ и B₁C₁ пересекаются в точке K. Окружности, описанные вокруг треугольников A₁KC₁ и A₁KB₁ вторично пересекают прямые AB и AC в точках N и L соответственно. Докажите, что а) сумма диаметров этих окружностей равна стороне BC. б) A₁N/BB₁+A₁L/CC₁=1. (9–11) В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. Прямая, проходящая через A, пересекает окружность в точках D и E. Хорда BX параллельна прямой DE. Докажите, что отрезок XC проходит через середину отрезка DE. (9–11) Постройте треугольник по высоте и биссектрисе, проведенным из одной вершины, и медиане, проведенной из другой вершины. (9–11) На хорде AC окружности w выбрали точку B. На отрезках AB и BC как на диаметрах построили окружности w₁ и w₂ с центрами O₁ и O₂, которые пересекают w второй раз в точках D и E соответственно. Лучи O₁D и O₂E пересекаются в точке F. Лучи AD и CE пересекаются в точке G. Докажите, что прямая FG проходит через середину AC. (9–11) Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точки P и Q диаметрально противоположны C и D соответственно. Касательные к окружности в этих точках пересекают прямую AB в точках E и F (A лежит между E и B, B – между A и F). Прямая EO пересекает AC и BC в точках X и Y, а прямая FO пересекает AD и BD в точках U и V. Докажите, что XV=YU. (10) Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Пусть A₂, B₂ – середины отрезков B₁C₁, A₁C₁ соответственно, O – центр описанной окружности треугольника, P – одна из точек пересечения прямой CO с вписанной окружностью. Прямые PA₂ и PB₂ вторично пересекают вписанную окружность в точках A' и B'. Докажите, что прямые AA' и BB' пересекаются на высоте треугольника, опущенной на AB. (10–11) Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что . Докажите, что . (10–11) Окружность с центром F и парабола с фокусом F пересекаются в двух точках. Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки A, B, C, D, что прямые AB, BC, CD и DA касаются параболы. (10–11) Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что , , . Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке. (10–11) Дана прямая l в пространстве и точка A, не лежащая на ней. Для каждой прямой l', проходящей через A, построим общий перпендикуляр XY (Y лежит на l') к прямым l и l'. Найдите ГМТ точек Y. (11) Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра. Найдите отношение ребер икосаэдров.
©МЦНМО, 2010