2005 год	2006 год	2007 год	2008 год	2009 год	2010 год	2011 год	2012 год	2013 год
	Шестая всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина

заочный тур:
условия в формате HTML или в формате PDF (205КБ), English version is available PDF (90K),
решения в формате PDF (240КБ), English version is available PDF (200K)

финальный тур:
расписание (русская версия, english version),
условия задач в формате html,
условия и решения задач в формате PDF (360КБ), в формате PS (630КБ),

победители финального тура,
учителя геометрии участников финального тура,

---

В память о выдающемся деятеле российского математического образования, всемирно известном знатоке и патриоте элементарной геометрии Игоре Федоровиче Шарыгине (1937–2004) Математический институт им В.А. Стеклова РАН, Департамент образования города Москвы, Московский центр непрерывного математического образования, Московский институт открытого образования, Открытый лицей ВЗМШ, при поддержке компьютермаркета «НИКС» и АНО «Школа нового поколения», уже шестой год проводят геометрическую олимпиаду. В оргкомитет и жюри олимпиады входят известные ученые, педагоги, энтузиасты математического просвещения из разных российских регионов.

С 2006 года олимпиада проходит при информационной поддержке газеты «Математика».

---

Финальный тур олимпиады прошёл в Дубне 29 июля – 1 августа 2010 года, олимпиада была двухдневной (как и в прошлом году). В ней приняли участие 62 школьника из России, Украины, Белоруссии и Армении.

Жюри и оргкомитет олимпиады также хотят сказать спасибо тем, что обычно в таких случаях остается в тени – учителям геометрии, которые учат всех тех, кто принял участие в финальном туре олимпиады!

---

Список победителей финального тура

8 класс

I диплом

Бубнова Анна, Курган

Мокин Александр, лицей прикладных наук, Саратов

II диплом

Хилько Данил, школа 208, Киев

Недошивин Михаил, 239, Санкт-Петербург

III диплом

Ревако Остап, Русановский лицей, Киев

Кузьмина Кристина, Л2Ш, Москва

Афризонов Денис, Курган

Заславский Олег, 1543, Москва

Хачатурян Марина 1543, Москва

Сазыкин Дмитрий, Курган

Грамотами за успешное выступление награждены:

Савостьянов Антон, лицей N 14, Тамбов

Смирнова Наталья лицей "Вторая школа", Москва

Николаев Антон, Русановский лицей, Киев

---

9 класс

I диплом

Скутин Александр, Л2Ш, Москва

II диплом

Иванов Константин, 25, Москва

Осипов Павел, 54, Томск

III диплом

Бурушева Лейла, 25, Москва

Максаев Артём, Л2Ш, Москва

Некрасов Илья, лицей N1, Комсомольск-на-Амуре

Руденко Александр, лицей 171 "Лидер", Киев

Танана Анастасия, 41, Минск

Соскин Даниэл, Русановский лицей, Киев

Косинов Никита, многопрофильный лицей 20, Ульяновск

Косян Артём, ФМШ им. Шагиняна, Ереван

Кузьменко Андрей, 17, Винница

Южаков Александр, гимназия N31, Курган

Грамотами за успешное выступление награждены:

Сандрикова Мария, ЦО 218, Москва

Кленин Егор, Л2Ш, Москва

---

10 класс

I диплом

Малясова Виктория, лицей "Экономический" N 14, Ростов-на-Дону

II диплом

Осипов Матвей, лицей N20, Ульяновск

Титов Дмитрий, 2, Усть-Лабинск

Решетников Иван, 5, Долгопрудный

III диплом

Сергиенко Ярослав, лицей ИСТЭк, Краснодар

Миронов Михаил 57, Москва

Барановский Александр, Русановский лицей, Киев

Егоров Дмитрий, школа 239, Санкт-Петербург

Грамотами за успешное выступление награждены:

Королёв Николай, Лицей им. Н.И. Лобачевского при КГУ, Казань

---

Учителя геометрии участников финального тура

• Арбит А.В., Томск
• Берлов Сергей Львович, Санкт-Петербург
• Бибикин Павел Витальевич, Москва
• Блинков Александр Давидович, Москва
• Бурмистрова Анна Владимировна, Тамбов
• Бухтояров Владимир Владимирович, Ростов-на-Дону
• Власко Людмила Николаевна, Винница
• Волкова Ольга Ивановна, Королёв
• Волчкевич Максим Анатольевич, Москва
• Воробьёв Андрей Юрьевич, Санкт-Петербург
• Гаврилова Оксана Геннадьевна, Челябинск
• Гагуа Ираклий Теймуразович, Москва
• Гордин Рафаил Калманович, Москва
• Дмитриев Олег Юрьевич, Саратов
• Жибрин Евгений Витальевич, Минск
• Жижилкин Игорь Дмитриевич, Москва
• Калинин Дмитрий Александрович, Москва
• Карасёв Роман Николаевич, Долгопрудный
• Карлюченко Алексей Викторович, Киев
• Карпов Дмитрий Валерьевич, Санкт-Петербург
• Кишкина Н.К., Томск
• Ковальджи Александр Кириллович, Москва
• Кожевников Павел Александрович, Долгопрудный
• Козеренко Константин Владимирович, Москва
• Коробицын Дмитрий Александрович, Москва
• Кочерова Анна Сергеевна, Долгопрудный
• Лапина Вера Васильевна, Королёв
• Лычёва Валентина Арсентьевна, Белгород
• Магазинов Александр Николаевич, Долгопрудный
• Маргарян Тигран Фирдусович, Ереван
• Мурашкин Михаил Владимирович, Долгопрудный
• Мухина Галина Геннадьевна, Ульяновск
• Пастор Алексей Владимирович, Санкт-Петербург
• Полонский Виталий Борисович, Киев
• Полянская Галина Евгеньевна, Москва
• Пономарёва Ирина Николаевна, Екатеринбург
• Посов Илья Александрович, Санкт-Петербург
• Прокопенко Дмитрий Викторович, Москва
• Самойлов Леонид Михайлович, Ульяновск
• Семеняк Анна Вячеславовна, Челябинск
• Сысоева Татьяна Юрьевна, Москва
• Тимошкевич Тарас Дмитриевич, Киев
• Тимошкевич Виктория Олексеевна, Киев
• Тыртов Николай Николаевич, Санкт-Петербург
• Утяганов Сайяр Эмдасович, Казань
• Федоренко Игорь Владимирович, Краснодар
• Филатов Егор Константинович, Санкт-Петербург
• Филипповский Григорий Борисович, Киев
• Хачатурян Александр Вячеславович, Москва
• Ходзицкая Елена Александровна, Ульяновск
• Шамович Александр Анатольевич, Киев
• Шарич Владимир Златкович, Москва
• Шарыгин Георгий Игоревич, Москва
• Швецов Дмитрий Викторович, Москва
• Шмарин Сергей Владимирович, Комсомольск-на-Амуре
• Шурыгин Вадим Вадимович, Казань
• Южаков Олег Иванович, Курган
• Юрьев Денис Валерьевич, Москва
• Ясинский Вячеслав Андреевич, Винница

Условия задач финального тура

8 класс.
Первый день.

1. В неравнобедренном треугольнике ABC проведены высота из вершины A и биссектрисы из двух других вершин. Докажите, что описанная окружность треугольника, образованного этими тремя прямыми, касается биссектрисы, проведенной из вершины A.

2. Даны две точки A и B. Найдите геометрическое место точек C, таких, что треугольник ABC можно накрыть кругом единичного радиуса.

3. В выпуклом четырехугольнике ABCD лучи AB и DC пересекаются в точке K. На биссектрисе угла AKD нашлась точка P, такая, что прямые BP и CP делят пополам отрезки AC и BD соответственно. Докажите, что AB = CD.

4. В равные углы X₁OY и YOX₂ вписаны окружности w₁ и w₂, касающиеся сторон OX₁ и OX₂ в точках A₁ и A₂ соответственно, а стороны OY — в точках B₁ и B₂. Точка C₁ — вторая точка пересечения A₁B₂ и w₁, а точка C₂ — вторая точка пересечения A₂B₁ и w₂. Докажите, что C₁C₂ — общая касательная к окружностям.

Второй день.

5. В треугольнике ABC проведены высота AH, биссектриса BL и медиана CM. Известно, что в треугольнике HLM прямая AH является высотой, а BL — биссектрисой. Докажите, что CM является в этом треугольнике медианой.

6. Точки E, F — середины сторон BC, CD квадрата ABCD. Прямые AE и BF пересекаются в точке P. Докажите, что углы PDA и AED равны.

7. Каждый из двух правильных многоугольников P и Q разрезали прямой на две части. Одну из частей P и одну из частей Q сложили друг с другом по линии разреза. Может ли получиться правильный многоугольник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть сторон?

8. Биссектрисы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. На отрезках A₁I и B₁I построены как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами A₂ и B₂, лежащими на прямой AB. Известно, что прямая CI делит отрезок A₂B₂ пополам. Верно ли, что треугольник ABC — равнобедренный?

9 класс.
Первый день.

1. Для каждой вершины треугольника ABC нашли угол между высотой и биссектрисой, проведенными из этой вершины. Оказалось, что эти углы в вершинах A и B равны друг другу и меньше, чем угол в вершине C. Чему равен угол C треугольника?

2. Два треугольника пересекаются. Докажите, что внутри описанной окружности одного из них лежит хотя бы одна вершина другого. (Здесь треугольником считается часть плоскости, ограниченная замкнутой трёхзвенной ломаной; точка, лежащая на окружности, считается лежащей внутри нее.)

3. На прямой лежат точки X, Y, Z (именно в таком порядке). Треугольники XAB, YBC, ZCD — правильные, причем вершины первого и третьего ориентированы против часовой стрелки, а второго по часовой стрелке. Докажите, что прямые AC, BD и XY пересекаются в одной точке.

4. В треугольнике ABC отметили точки A', B' касания сторон BC, AC с вписанной окружностью и точку G пересечения отрезков AA' и BB'. После этого сам треугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.

Второй день.

5. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC (угол ABC — прямой), касается сторон AB, BC, AC в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A₂. A₀ — центр окружности, описанной около треугольника A₁A₂B₁; аналогично определяется точка C₀. Найдите угол A₀BC₀.

6. Произвольная прямая, проходящая через вершину B треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K, а описанную окружность в точке M. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников AMK.

7. В треугольнике ABC AL_a и AM_a — внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть w_a — окружность, симметричная описанной окружности треугольника AL_aM_a относительно середины BC. Окружность w_b определена аналогично. Докажите, что w_a и w_b касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.

8. На доске нарисован правильный многоугольник. Володя хочет отметить k точек на его периметре так, чтобы не существовало другого правильного многоугольника (не обязательно с тем же числом сторон), также содержащего отмеченные точки на своем периметре. Найдите наименьшее k, достаточное для любого исходного многоугольника.

10 класс.
Первый день.

1. Пусть O, I — центры описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника; R, r — радиусы этих окружностей; J — точка, симметричная вершине прямого угла относительно I. Найдите OJ.

2. Каждая из двух равных окружностей w₁ и w₂ проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в w₁, а прямые AC, BC касаются w₂. Докажите, что cos A + cos B = 1.

3. Два выпуклых многоугольника A₁A₂...A_n и B₁B₂...B_n (n>3) таковы, что любая сторона первого больше соответствующей стороны второго. Может ли оказаться, что любая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

4. Проекции двух точек на стороны четырехугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырехугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырехугольник — параллеллограмм.

Второй день.

5. В прямоугольном треугольнике ABC (угол B — прямой) проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H₁, B₁; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H₂, B₂; O — центр описанной окружности треугольника H₁BH₂. Докажите, что OB₂ = OB₁.

6. Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A', B' и C'. Известно, что ортоцентры треугольников ABC и A'B'C' совпадают. Верно ли, что треугольник ABC — правильный?

7. Каждый из двух правильных многогранников P и Q разрезали плоскостью на две части. Одну из частей P и одну из частей Q приложили друг к другу по плоскости разреза. Может ли получиться правильный многогранник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть граней?

8. Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили точки A₁, B₁ и C₁, после чего сам треугольник стерли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.